SANGAKU

En mayo, me publicaron una cosita en Pythagoras, edición de la facultad de ciencias exactas de Amsterdam, y me enviaron una copia donde venía (en holandés) esta figura conocida como Sangaku.

No hay mucha información, menos explicaciones que podamos comprender los mortales, salvo este articulo del períodico de la Universidad de Princeton, que lo explica de forma bastante amable, y me apropio, traducido y adaptado.

En Japón hace siglos hubo una locura por las matemáticas donde soluciones a problemas geométricos  producian trazados de gran belleza que finamente se ilustraron en tablillas de madera, llamadas Sangaku, que adornaban paredes de templos y santuarios locales.

Todo esto sucedió mientras que Japón se hallaba totalmente aislado del resto del mundo y los profesores del país se vieron obligados a inventar una rama propia de las matemáticas para su enseñaza popular. Cuando Japón se abrió al mundo nuevamente, los puzzles – y la geometría que ayudó a resolverlos – cayó casi en el olvido.

Las Sangaku (literalmente “tablillas matemáticas”) son consideradas algo único entre las creaciones culturales del mundo ya que son al mismo tiempo objetos de arte, ofrendas y un registro de lo que podríamos llamar matemática popular, un forma de belleza abstracta dignas de contemplación ahora y la inclusión en un templo en su tiempo, mientras que otras culturas han valorado mosaicos, iconos y ventanas con vidrieras de colores.

Sangaku se hizo popular en Japón durante el período Edo, que duró desde el siglo 17 hasta 1857. Aunque los dirigentes habían cortado por la fuerza con  la isla de Occidente – permitiendo que sólo un buque neerlandés al año pudiera hacer puerto en Nagasaki – el país experimentó un florecimiento cultural donde actividades intelectuales como las matemáticas se aconsejaban pero con un toque japonés debido al aislamiento del país obligado así a forjar su propio camino desarrollándo una forma de responder a complejas preguntas geométrica – tales como la forma en que muchos círculos de un cierto tamaño podían caber en un triángulo particular – sin el beneficio de las técnicas de cálculo, que eran relativamente nuevos en Occidente en ese momento tales como los avances de Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton, así que encontraron otros enfoques para resolver problemas como estos, utilizando métodos similares a los usados por los griegos antiguos los cuales eran mucho más lentos y requerían de un cierto esfuerzo; Mientras que los métodos matemáticos modernos tales como el cálculo pueden simplificar un problema que requiere en Sangaku páginas de cálculo. El Sangaku era lo suficientemente simple como para ser utilizado por los niños pequeños abriendo los problemas a casi todo el que quisiera probarlos, lo que no quiere decir que fuera fácil, los problemas de alta geometría enseñada hoy a los niños en las escuelas tienden a requerir sólo cinco o seis líneas de  desarrollo para resolverlos, mientras que los viejos problemas requerían a menudo páginas y páginas de trabajo.

Una complicación adicional está en que las tablas fueron inscritas en Kanbun, una forma de chino que era la lengua de las escuelas en Japón y que no era una lengua popular comprensible para un japonés medio, y hoy serían incomprehensibles de no ser por las ilustraciones que acompañaban la resolución geométrica de los problemas, los que formaron un conjunto digno de ser ofrendado a los templos budistas o santuarios sintoístas, el trabajo matemático cobraba así una dimensión religiosa. Muchos templos fueron construidos según problemas Sangaku, aunque en su origen era una forma de diversión y de enseñar matemáticas a los niños, la infinitud de problemas derivables y su complejidad progresiva así como la “oscuridad” de muchos de estos problemas, lo convierten en una forma de arte, equivalente matemático al literario “Haiku”…Entonces era una especie de Sudoku, o sopa de letras

link al artículo original en inglés

Wikipedia:

Sangaku

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Sangaku o San Gaku (算額, lit. Tablilla Matemática?) son tablillas de origen japonés con problemas matemáticos principalmente geométricos, creadas durante el período Edo (1603-1867).

Un sangaku tiene de 1 a 10 problemas, y cada problema está formado de la siguiente manera: arriba o a la derecha de la tablilla se ubican las figuras geométricas; abajo o a la izquierda se encuentran la pregunta y soluciones (resolución, respuesta, o ambas si las hay); y por ultimo el creador del sangaku, el profesor, la escuela y la fecha de su colgado.

Contenido

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Historia [editar]

Los Sangaku pueden provenir con mayor certeza, de la costumbre nipona de colgar tablillas en los templos, propiciada por el sintoísmo, la cual tiene un panteón de dioses de considerable número, llamados kami. Y dado que a los kami les encantan los caballos vivos, los fieles que no podían ofrendar un caballo, podían ofrecer un remedo en madera. Es por esto que muchas tablillas que datan del siglo XV o antes, contienen representaciones de caballos.[1] [2]

Durante el periodo Edo, Japón fue aislado totalmente del resto del mundo así que las tablillas fueron creadas usando las matemáticas japonesas (wasan), no influenciadas por el pensamiento matemático occidental (yosan).

Muchas de estas tablillas se perdieron durante el período de modernización que siguió al período Edo, de las 2625 tablillas que se supone existieron, 884 se conservan.[3] La tablilla Sangaku más antigua que se conoce proviene de la prefectura de Tochigi y se remonta a 1683. Otra, de la prefectura de Kioto es del año 1686. Aunque el diario del matemático japonés Kazu Yamagushi (1781-1850) se alude a una tablilla del año 1668, perdida en la actualidad.[1]

Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en sus obras Shinpeki Sanpō (Problemas matemáticos suspendidos ante el Templo) en 1789, y una segunda parte en 1806, Zoku Shinpeki Sanpō. Una colección de Sangaku fue publicada en 1989 por Hidetoshi Fukagawa y Daniel Pedoe, la primera en inglés, en el libro: Japanese Temple Geometry Problems.

Aspectos matemáticos [editar]

El teorema de Pitágoras es la herramienta más utilizada en la resolución de los problemas sangaku (Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.).

Sobre los temas en que se enfocan los Sangaku, esta principalmente la geometría euclidiana y específicamente sobre círculos, elipses, esferas, figuras dentro de otras figuras, como también el calculo de volumen de diversos solidos, requiriendo de calculo integral. Sobre temas no geométricos se encuentran las ecuaciones diofánticas con problemas algebraicos y numéricos.[4]

Gran parte de los problemas entrarían en la categoría de matemática recreativa, pero algunos usan versiones japonesas de algunos teoremas como el teorema de los círculos de Descartes, mientras otros se adelantan a famosos resultados occidentales como el teorema de Malfatti, el teorema de Casey o el sexteto de Soddy.[5]

Algunos de los problemas son sencillos y solo se requiere de conocimientos de secundaria como el teorema de Pitágoras, mientras otros requieren de matemáticas superiores para ser abordados.

Problemas sangaku [editar]

Problema sangaku con un triángulo isósceles y dos círculos.

Un círculo que contiene a dos círculos, un triángulo isósceles y una perpendicular [editar]

En otro problema de la Prefectura de Gunma de 1803, la base del triángulo isósceles descansa sobre el diámetro de la circunferencia mayor. El centro de la circunferencia azul se encuentra en el diámetro de la circunferencia verde y la circunferencia es tangente interior a la circunferencia verde. La circunferencia roja es tangente exterior del triángulo y de la circunferencia verde, e interior de la circunferencia verde. Hay que demostrar que el segmento que conecta el centro de la circunferencia roja con el punto de intersección del triángulo y la circunferencia azul es perpendicular con el diámetro de la circunferencia verde.

En la solución dada en el sangaku, el autor traza un segundo segmento rectilíneo distinto del segmento enunciado que pasa por el centro del círculo rojo y que es perpendicular al diámetro del círculo verde, de modo que los dos segmentos deberían interceptar al diámetro en puntos distintos. Luego, se demuestra que la distancia entre estas dos distancias tiene que ser necesariamente cero lo que supone que estos segmentos son idénticos, demostrando la perpendicularidad.

Problema Sangaku de la prefectura de Gumma del año 1824.

Tres circunferencias tangentes entre sí y a una recta [editar]

Este problema de la Prefectura de Gunma del año 1824, trata sobre tres circunferencias tangentes entre sí y a una misma recta. Se pide determinar el radio de la circunferencia más pequeña en términos de las dos circunferencias restantes. La solución a este problema es:

\frac{1}{\sqrt{r_1}}=\frac{1}{\sqrt{r_2}} +  \frac{1}{\sqrt{r_3}}

donde r1, r2, r3 son respectivamente el radio de la circunferencia rojo, verde y azul. Este problema es un caso especial del teorema de los círculos de Descartes cuando la cuarta circunferencia tiene curvatura cero. Puede resolverse aplicando el teorema de Pitágoras.

La suma de los radios de los círculos verdes es igual a la suma de los radios de los círculos azules.

Primer Teorema de Mikami-Kobayashi [editar]

También llamado teorema japonés, este teorema nos dice que al triangular un polígono convexo inscrito en un círculo, trazando todas las diagonales desde uno de los vértices, la suma de los radios de los círculos inscritos en los triángulos es una constante (invariante) que es independiente del vértice elegido para hacer la triangulación.

La idea básica de la prueba es utilizar el teorema de Carnot en cada triángulo inscrito en el polígono.

Segundo teorema de Mikami y Kobayashi.

Segundo teorema de Mikami-Kobayashi [editar]

También llamado teorema japonés, este teorema nos dice que al unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.

La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.

Collar de esferas.

Collar de esferas [editar]

Este problema de la prefectura de Kanagawa de 1822 colgado en el santuario de Kōzagun por Yazawa Hiroatsu, se anticipa en más de cien años al trabajo de Frederick Soddy. Dos esferas tangentes A y B entre sí están inscritas en una gran esfera C. El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a sus dos vecinos más cercanos y a las tres esferas dadas, además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C.

La solución viene dada por el teorema del sexteto de Soddy (1937) que nos dice que habrá sólo 6 esferas. La solución usando wasan del manuscrito Sanpō Tenzan Tebikigusa (1841) de Ōmura Kazuhide (1824–1891), aplica la versión japonesa del teorema de los círculos de Descartes como idea básica y la extiende al mundo de las esferas.

Sangakus algebraicos [editar]

Entre los sangakus algebraicos destacamos:

  • El problema de la tablilla de Ufa Chusaburō de 1743: Se tienen 50 pollos y conejos. Si el número de patas es 122, ¿Cuántos pollos y conejos hay?.
  • De la tablilla del templo Shōganji, prefectura de Nagano: Se divide un capital de 60 en forma igualitaria para repartir a varios hombres como préstamo a interés compuesto por más de 3 años, después del cual el capital de vuelta con interés añadido será 105.12. La diferencia de la tasa de interés anual entre cada deudor es de 10% y la suma de la tasa de interés anual es de 60%. Encontrar el número de hombres a los cuales se les ha dado el préstamo.
  • Del santuario Hioki-jinja: Se tienen dos cubos, Al más grande y B. La suma de los volúmenes de A y B es 2240 sun (80499 cm3) y la diferencia entre los lados de A y B es 4 sun (13.2 cm). Encontrar la longitud del lado de B.

Algunas soluciones [editar]

Tres circunferencias tangentes entre sí y a una recta [editar]

Sangaku-3c-res.png

Sea O_2 O_3=r_2 + r_3 \quad ; O_1 O_2=r_1 + r_2  \quad ; O_1 O_3=r_1 + r_3\,, segmentos que conectan los centros de las circunferencias. Luego AB=FO_2= \sqrt{(O_2 O_3)^2 - (O_3 F)^2}=  \sqrt{(r_2+r_3)^2 - (r_3-r_2)^2}= 2 \sqrt{r_2 r_3} , de forma análoga para los segmentos BC=EO_1=2  \sqrt{r_2 r_1} y AC=DO_1=2 \sqrt{r_1 r_3} . Como AB = AC + CB \,, tenemos que: 2 \sqrt{r_2 r_3}= 2 \sqrt{r_1 r_3} +  2 \sqrt{r_1  r_2} dividiendo por 2 \sqrt{r_1 r_2 r_3} a ambos lados de la ecuación se llega a la solución.

Primer Teorema de Mikami-Kobayashi [editar]

Japanese-theorem-m1-m5.png

Consideremos la triangulación de un pentagono convexo inscrito en una circunferencia de radio R. Sean m1, . . . ,m5 los segmentos de mediatrices (o simetrales) desde el circuncentro a los lados. Sean r1, r2 y r3 los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, ACD y ADE respectivamente. Aplicando el teorema de Carnot a estos triángulos obtenemos:
m_1 + m_2 - m_y = R + r_1 \;

m_3 + m_x + m_y = R + r_2 \;

m_4 + m_5 - m_x = R + r_3 \;
Sumando miembro a miembro, obtenemos:

r_1 + r_2 + r_3  = (m1 + m2 + m3 + m4 + m5) -  3R \;

Expresión que no depende de la triangulación que hemos utilizado. De forma analoga se puede probar para cualquier k-polígono convexo.

Referencias [editar]

  1. a bRothman Tony; Fukagawa Hidetoshi (1998). «Geometría en los templos de Japón». Investigación y Ciencia (julio). pag. 72-79. http://www.investigacionyciencia.es/articulos.asp?prod=133&art=5&listaDeBusqueda=.
  2. Rehmeyer, Julie (2008). «Science News / Sacred Geometry : Sacred Geometry».
  3. Itō,E.;Nomura, E.; Tanaka, H.; Kobayashi, H.; Kitahara, I.; Ōtani, K.; Nakamura, N.; Yanagisawa, R.; Sekiguchi, T. (2003). Japanese Temple Mathematical Problems, Japón: Kyōikushokan,.
  4. Fouz, Fernando (2003). «Sangaku: Geometría en los Templos Japoneses.». Revista Sigma (22). pag. 173-190. http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_22/14_Sangaku.pdf.
  5. Miranda, Ubaldo (2002). «Sangaku».

Libros

  • Fukagawa, Hidetoshi ; Pedoe, Daniel (1989) Japanese Temple Geometry Problems: Sangaku. Charles Babbage Research Centre. ISBN 0-919611-21-4.
  • Fukagawa, Hidetoshi ; Rothman, Tonny (2008) Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Princeton University Press, Princeton. ISBN 0-691-12745-X.
  • Huvent, Géry (2008) Sangaku. Le mystère des énigmes géométriques japonaises, Dunod. ISBN 2-10-052030-X

Enlaces externos [editar]

Problemas sangaku

Otros sitios

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